Demostrar: “Si las diagonales de un cuadrilátero se dividen mutuamente en partes iguales, la figura es un paralelogramo”.

Demostrar el siguiente teorema analíticamente:

“Si las diagonales de un cuadrilátero se dividen mutuamente en partes iguales, la figura es un paralelogramo”.

Es decir, si al cruzarse las diagonales, éstas quedan divididas en partes iguales cada una, entonces la figura es un paralelogramo.

Paralelogramo Hipotético

Iniciamos trazando la diagonal D1^{1}, la cual va desde el origen hasta el punto A que tiene como abcisa un valor arbitrario (que no importa cuál sea) representado por la letra a y como ordenada uno representado por la letra b.

Ahora, para que las diagonales se dividan mutuamente .^{2} en partes iguales éstas tienen que cruzarse en su punto medio, o sea que el punto medio M de la diagonal D1 tiene que ser igual al punto medio M' de la diagonal D2.

Tracemos entonces la diagonal D2, démosle coordenadas arbitrarias y definamos su punto medio como M'.

Unamos ahora los 4 extremos de las dos diagonales formando un cuadrilátero paralelogramo hipotético (que todavía no es un paralelogramo, sólo hemos supuesto que así lo es).

Las coordenadas del punto medio M de la diagonal D1 están dadas por la siguientes relaciones:

x = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}                y = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}

Y las del punto medio M':

x = \frac{c + c}{2} = c                y = \frac{0+d}{2} = \frac{d}{2}

Pero como ya lo dijimos en la base de nuestra demostración, el punto medio M es igual al punto medio M', de lo cual deducimos inmediatamente las siguientes relaciones:

\frac{a}{2} = c                (1)

a = 2c                (1b)

\frac{b}{2} = \frac{d}{2} \Longrightarrow b = d                (2)

Ahora, como ya tenemos nuestras diagonales divididas en partes iguales y hemos establecido todas las coordenadas de los vértices correctamente, procederemos a demostrar que la figura es un paralelogramo, lo cual lograremos obteniendo la pendiente de cada lado del cuadrilátero y comparándolas entre sí.

Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos.

Entonces la figura será un paralelogramo si la pendiente de \overline{CA} es igual a la pendiente de \overline{OB} y la pendiente de \overline{OC} es igual a la pendiente de \overline{BA}. Calculemos entonces las pendientes:

m_{\overline{CA}} = \frac{b - d}{a - c}        y        m_{\overline{OB}} = \frac{0 - 0}{c - 0} = \frac{0}{c} = 0

Pero por (2):

m_{\overline{CA}} = \frac{b - d}{a - c} = \frac{b - b}{a - c} = \frac{0}{a - c} = 0

Y ya que las pendientes de \overline{CA} y \overline{OB} son iguales, \overline{CA} \| \overline{OB} (son paralelas).

Ahora, para \overline{OC} y \overline{BA}:

m_{\overline{OC}} = \frac{d - 0}{c - 0} = \frac{d}{c}        y        m_{\overline{BA}} = \frac{b - 0}{a - c} = \frac{b}{a - c}

Pero por (1b) y (2):

m_{\overline{BA}} = \frac{b}{a - c} = \frac{d}{2c - c} = \frac{d}{c}

Y ya que las pendientes de \overline{OC} y \overline{BA} son iguales, \overline{OC} \| \overline{BA}.

Y como nuestro cuadrilátero OCAB tiene dos pares de lados paralelos entonces es un paralelogramo.

__________

Gpo4, Ejercicio 2. Geometría Analítica, Charles H. Lehmann, 1942.

__________

1. Como es de esperarse, en la figura 1 la diagonal D1 parece tener una inclinación de 40° porque así la hemos dibujado, pero la inclinación de D1 es desconocida ya que a y b representan cualquier valor, en todo caso, la inclinación de D1 (siempre con respecto al lado positivo del eje X) es \arctan{(\frac{b-0}{a-0})} o también \tan{^{-1}(\frac{b-0}{a-0})}.

2. Entre ellas, o sea, una con la otra.

 

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