Demostrar: “Las diagonales de un paralelogramo se dividen en partes iguales mutuamente”.

Demostrar el siguiente teorema analíticamente:

“Las diagonales de un paralelogramo se dividen en partes iguales mutuamente”.

A diferencia del teorema recíproco a este, el cuál ha sido demostrado en la entrada anterior, aquí partiremos de un paralelogramo definido, es decir, primero dibujamos la figura y después demostraremos el teorema, pero siempre asumiendo que nuestra figura ya es un paralelogramo.

Paralelogramo

\overline{AC} : Diagonal D1                \overline{OB} : Diagonal D2

M(x_{1},y_{1}) : Punto medio de \overline{AC}                M'(x_{2},y_{2}) : Punto medio de \overline{OB}

P(x,y) : Punto en el que se cruzan las dos diagonales.

Una vez que hemos establecido cuidadosamente las coordenadas de cada vértice, se puede observar que ambos segmentos \overline{AB}  y \overline{OC} tienen la misma pendiente, ya que los puntos A y B comparten la misma ordenada y los puntos O y C también, entonces \overline{AB} \| \overline{OC} (símbolo utilizado para indicar que los segmentos son paralelos).

Y en el caso de \overline{OA} y \overline{CB}:

m_{\overline{OA}} = \frac{b-0}{c-0} = \frac{b}{c}                y                m_{\overline{CB}} = \frac{b-0}{a + c - a} = \frac{b}{c}

Lo cual nos indica que \overline{OA} \| \overline{CB} también.

Entonces, por tener OABC dos pares de lados paralelos, es un paralelogramo.

Cuando las diagonales se “dividen mutuamente” es cuando se cortan, formando así cuatro divisiones.

Lo que se quiere demostrar en este teorema es que cuando las diagonales se cruzan, cada diagonal queda dividida en partes iguales, o sea que:

\frac{\overline{AM}}{\overline{MC}} = 1                (1)

y

\frac{\overline{OM'}}{\overline{M'B}} = 1                (2)

Ahora, el punto donde se cruzan las diagonales es el punto donde se dividen, si este punto es igual al punto medio de cada diagonal ( P = M' = M)  entonces las diagonales se dividen mutuamente (al cortarse) en partes iguales y el teorema quedaría demostrado.

Procederemos entonces a obtener primero las coordenadas de M y M' utilizando las ecuaciones (1) y (2) respectivamente:

\frac{\overline{AM}}{\overline{MC}} = 1 \Longrightarrow \frac{x_{1} - c}{a - x_{1}} = 1

x_{1} - c = (1)(a - x_{1})

x_{1} = a - x_{1} + c

x_{1} + x_{1} = a + c

2x_{1} = a + c

x_{1} = \frac{a + c}{2}

\frac{\overline{AM}}{\overline{MC}} = 1 \Longrightarrow \frac{y_{1} - b}{0 - y_{1}} = 1

y_{1} - b = (1)(0 - y_{1})

y_{1} = \frac{b}{2}

\frac{\overline{OM'}}{\overline{M'B}} = 1 \Longrightarrow \frac{x_{2} - 0}{a + c - x_{2}} = 1

x_{2} = (1)(a + c - x_{2})

x_{2} = \frac{a + c}{2}

\frac{\overline{OM'}}{M'B} = 1 \Longrightarrow \frac{y_{2} - 0}{b - y_{2}} = 1

y_{2} = (1)(b - y_{2})

y_{2} = \frac{b}{2}

Entonces las coordenadas de los puntos medios de cada diagonal son:

M(\frac{a + c}{2}, \frac{b}{2})                y                  M'(\frac{a + c}{2}, \frac{b}{2})

Y para encontrar el punto donde se cruzan ambas diagonales necesitamos las dos ecuaciones de estas rectas diagonales:

La pendiente de la recta Diagonal D1 es:

m_{D1} = \frac{0 - b}{a - c} = \frac{-b}{a - c}                (3)

Pero sabemos que esta pendiente se obtiene a patir de dos puntos cualesquiera de la recta, por ejemplo P_{3}(x_{3},y_{3}) y P_{4}(x_{4}, y_{4}), por lo que m_{D1} bien podría ser:

m_{D1} = \frac{y_{4} - y_{3}}{x_{4} - x_{3}}  o bien  m_{D1} = \frac{y_{4} - 0}{x_{4} - a}

Ya que C es también un punto de la recta diagonal D1.

Y reemplazando m_{D1} por el valor obtenido en (3) se obtiene la ecuación de la recta Diagonal D1:

\frac{-b}{a - c} = \frac{y_{4} - 0}{x_{4} - a}

y_{4} = \frac{-b}{a - c} (x_{4} - a)                (4)

De forma similar, para la recta Diagonal D2 tenemos:

m_{D2} = \frac{b - 0}{(a + c) - 0}

= \frac{b}{a + c}

Y utilizando el origen como uno de los puntos por los que pasa la recta, obtenemos la ecuación de la recta Diagonal D2:

\frac{b}{a + c} = \frac{y_{5} - 0}{x_{5} - 0}

y_{5} = \frac{b}{a + c}(x_{5})                (5)

Bien, hemos llegado a un punto crucial para esta demostración y en general muy importante para cualquier demostración y para las matemáticas. Dijimos que si el punto en el que se cruzan ambas rectas es el punto medio tanto para la Diagonal D1 como para la Diagonal D2 entonces el teorema quedaría demostrado.

Así que haremos una hipótesis y supondremos que esto es así, que el punto en el que se cruzan ambas diagonales es efectivamente el punto medio para cada diagonal (aún no hemos demostrado que esto sea así, solo estamos suponiéndolo), entonces las coordenadas de P hipotéticamente son: P'(\frac{a+c}{2},\frac{b}{2}).

Y si esto fuera así, el punto P'(\frac{a+c}{2},\frac{b}{2}) satisfaría las dos ecuaciones (4) y (5):

\frac{b}{2} = \frac{-b}{a - c}((\frac{a + c}{2}) - a)

\frac{b}{2} = \frac{b}{a + c}(\frac{a + c}{2})

Pero veamos si esto es cierto, veamos si las dos relaciones anteriores se cumplen:

Para la ec. (4) tenemos:

\frac{b}{2} = \frac{-b}{a - c}((\frac{a + c}{2}) - \frac{a}{1})

= \frac{-b}{a - c}(\frac{a + c - 2a}{2})

= \frac{-b}{a - c}(\frac{c - a}{2})

= \frac{b}{a - c}[\frac{-(c - a)}{2}]        ^{^{1}}

= \frac{b}{a - c}(\frac{a - c}{2})

= \frac{a - c}{a - c}(\frac{b}{2})

= \frac{b}{2}

Y para la ec. (5) tenemos:

\frac{b}{2} = \frac{b}{a + c}(\frac{a + c}{2})

= (\frac{a + c}{a + c})(\frac{b}{2})

= \frac{b}{2}

De lo cual concluimos que el punto P'(\frac{a + c}{2},\frac{b}{2}) satisface ambas ecuaciones, y como P'(\frac{a + c}{2}, \frac{b}{2}) satisface ambas ecuaciones entonces también P(\frac{a + c}{2}, \frac{b}{2}) lo hace, y como P tiene las mismas coordenadas que los puntos medios M y M' de cada diagonal el teorema queda demostrado.

__________

Gpo4, Ejercicio 1. Geometría Analítica, Charles H. Lehmann, 1942.

__________

^{1} En este paso se utilizó la propiedad conmutativa para cambiar de signo a los factores numeradores de la siguiente manera: \frac{(b)(-1)}{a - c}(\frac{(1)(c - a)}{2}) \Longrightarrow \frac{(b)(1)}{a - c}(\frac{(-1)(c - a)}{2}).

About these ads

Deja un comentario

Archivado bajo Demostraciones, Geometría Analítica, Geometría Analítica Plana

Deja un comentario

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s