Rotación de Coordenadas en R2, dos dimensiones o 2D.

La rotación en un plano, como por ejemplo el cartesiano, se lleva a cabo utilizando la trigonometría. Este tipo de rotación es una rotación en dos dimensiones o en R2.^{1}

Para rotar una figura en el plano se pueden rotar los ejes manteniendo fijas las coordenadas o bien rotar las coordenadas manteniendo fijos los ejes, obteniendo el mismo efecto en ambos casos.

Para rotar una figura en el plano podemos tomar cualquier punto arbitrario como referencia, es decir, podemos escoger el punto que más nos convenga sin importar dónde se encuentre tal punto. De tal forma que podemos rotar con respecto a cualquier eje ó par de ejes.

Por ser el centro de los ejes coordenados el punto origen, de coordenadas (0, 0) utilizaremos éstos ejes como referencia con el fin de simplificar los cálculos.

Como bien sabemos al rotar (girar) una línea cualquiera, por ejemplo un lápiz sobre una mesa, la nueva posición del lápiz forma cierto ángulo con la antigua posición.^{2}

De forma similar, los ejes coordenados son tambien dos líneas rectas, perpendiculares entre sí, las cuales se pueden girar. Al girar los ejes coordenados, un punto que hacía referencia al par de ejes coordenados antiguo ahora tiene otro par de coordenadas pero en referencia al nuevo par de ejes coordenados y están relacionados por las siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones de transformación:

y = x' \sin \theta + y' \cos \theta

x = x' \cos \theta - y' \sin \theta

Las cuales han sido deducidas de la siguiente manera, siendo x,y las coordenadas del punto P.

Plano Cartesiano

Plano Cartesiano

 x = OA = r \cos (\theta + \phi)

x = AP = r \sin (\theta + \phi)

x' = OA' = r \cos \phi

 y' = A'P = r \sin \phi

Entonces, utilizando trigonometría para sumar los ángulos, tenemos:

 x = r \cos (\theta + \phi) = r \cos \theta cos \phi - r \sin \theta \sin \phi

x = x' \cos \theta - y' \sin \theta

Y de manera similar para y:

 y = r \sin (\theta + \phi) = r \sin \theta cos \phi + r \cos \theta \sin \phi

y = x' \sin \theta + y' \cos \theta

Tomando las dos ecuaciones de transformación tenemos entonces un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y para solucionarlo (encontrar los valores de x' y y') podemos utilizar distintos métodos. Aquí utilizaré el método de Cramer, que hace uso de matrices y determinantes.^{3}

Por ejemplo, se nos pide encontrar las nuevas coordenadas del punto P( 1, 0) cuando los ejes coordenados giran un ángulo de 90^{\circ} ; armamos entonces el siguiente sistema de ecuaciones:

0 = x' \sin \theta + y' \cos \theta

1 = x' \cos \theta - y' \sin \theta

En el método de Cramer las soluciones,^{4}  del sistema siempre son:

x' = \frac{\Delta x'}{\Delta}

y' = \frac{\Delta y'}{\Delta}.

Y todos los delta’s son determinantes. Delta es el determinante de los coeficientes de las incógnitas y siempre es el que se obtiene ordenando los coeficientes de las incógnitas en una matriz (o tabla) y realizando las operaciones correspondientes a un determinante.^{5}

\Delta = \begin{vmatrix} & \sin \theta &\cos \theta & \\ & \cos \theta &-\sin \theta \end{vmatrix}

La matriz de términos independientes es la columna que forman los valores independientes (que no dependen de las incógnitas):

B = \binom{0}{1}

El determinante \Delta x' es el mismo determinante \Delta pero con la diferencia de que se reemplaza la columna correspondiente a los coeficientes de x' en el determinante \Delta con la columna de los términos independientes:

\Delta x' = \begin{vmatrix} & 0 &\cos \theta & \\ & 1 &-\sin \theta \end{vmatrix}

\Delta x' = 0 - \cos \theta

Y de manera similar lo es \Delta y' , sólo que reemplazando ahora en la columna de las y':

\Delta y'= \begin{vmatrix} & \sin \theta & 0 & \\ & \cos \theta & 1 \end{vmatrix}

\Delta y' = \sin \theta - 0

Antes de continuar con la solución simplificamos \Delta :

\Delta = \begin{vmatrix} & \sin \theta &\cos \theta & \\ & \cos \theta &-\sin \theta \end{vmatrix} = -\sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta

\Delta = -1

Y teniendo los tres elementos necesarios para resolver nuestro sistema por el mètodo de Cramer, reemplazamos valores y obtenemos las soluciones.^{6}

x' = \frac{\Delta x'}{\Delta} = \frac{-\cos \theta}{-1} = \cos \theta

y' = \frac{\Delta y'}{\Delta} = \frac{\sin \theta}{-1} = -\sin \theta

Entonces las coordenadas del punto (x, y) que son (1, 0) se transforman en (x', y') que son (\cos \theta, -\sin \theta), y al evualuar para un ángulo de 90^{\circ} resulta que las coordenadas del punto original ahora son (0, -1) al haber rotado los ejes un ángulo de 90^{\circ} y que es equivalente al haber rotado el punto un ángulo de -90^{\circ}.

Sistemas de Ejes.

El método de Cramer se puede utilizar siempre que el sistema de ecuaciones sea cuadrado, es decir, que tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas.

___________________________________________________________

1. La rotación de coordenadas o de ejes es una transformación de coordenadas.

2. De hecho ésta es la forma en que se define un ángulo medido en grados. A la cantidad de giro, o bien, amplitud de rotación es a lo que se le conoce como ángulo. A diferencia de los ángulos medidos en grados, los ángulos medidos en números reales se definen como una longitud curvada (arco) a la cual se le conoce como radianes.

3. Las matrices son una herramienta, de manera similar a como lo es una cinta de medir. Las matrices nos sirven para organizar la información en una tabla y luego realizar cualquier operación que se nos ocurra, obteniendo así relaciones (razones) entre los elementos de la tabla. Cuando se realizan operaciones en una matriz siempre se busca mantener la proporción entre todos los elementos. Los determinantes son una propiedad que se asocia a cada matriz, como un color, tamaño, etc. Especìficamente es un sólo número real, una cantidad finita y se obtiene realizando operaciones de suma, resta y multiplicación en cierto orden sobre los elementos de una matriz.

4. El símbolo \Delta en \Delta x' y \Delta y' no está separado. Sin embargo para recordar el método de Cramer se puede proceder formalmente a separar la letra delta de \Delta x' y \Delta y' y realizar la simplificación correspondiente en cada una de las soluciones.

5. Para mayor referencia se puede buscar en Internet: “¿Cómo obtener el determinante de una matriz 2×2?”.

6. La simplificación a -1 del determinante \Delta se pudo efectuar porque otros matemáticos importantes ya han comprobado que \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \equiv 1 para cualquier valor de \theta . A esto se le llama una identidad trigonométrica.

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