Cómo evaluar límites en cálculo.

Se sabe que el límite de una función polinomial se puede descomponer en límites individuales para cada operación algebraica. Por ejemplo:

\lim_{x \rightarrow 2} (9x^2 + 7x)

= 9\lim_{x \rightarrow 2}(x^2) + \lim_{x \rightarrow 2}(7x) = 36 + 14 = 50

Es por esto que existe un teorema (entre otros) que nos dice que para evaluar un límite basta con evaluar la función en el valor al que tiende x .

Sin embargo, a veces la función f(x) no está definida para el valor al que tiende x.

Es por eso que aquí mostraré algunos ejemplos de cómo evaluar límites utilizando concretamente la herramienta que conocemos como cálculo.

Ejemplo #1: f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

 \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 1}{x -1} = \frac{0}{0}

Nos encontramos con una forma indeterminada, entonces expresamos el 1 del numerador como un número al cuadrado, y luego factorizando la diferencia de cuadrados que se forma en el numerador tenemos:

 \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^2 - 1^2}{x -1} = \lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x -1)}

 Y simplificando la expresión anterior, se llega a la siguiente:

\lim_{x \rightarrow 1}(x + 1) = 2

 Entonces 2 es el límite de f(x) cuando x tiende a 1. Desde luego, la gráfica de g(x) = x +1 es esencialmente la gráfica de f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} pero sin el hueco en x=1 en f(x).

Ejemplo #2: f(x) = \frac{sen x}{x}

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen x}{x} = \frac{0}{0}

No todos los límites se pueden resolver utilizando enteramente el cálculo y/o simplificando la función. En este ejemplo nos encontramos también con una forma indeterminada, y resolverémos el límite utilizando la calculadora.

Recuerden que el valor que toma la función sen(x) está dado en radianes, así que no olviden poner la calculadora en modo de radianes. Evaluaremos entonces los límites unitalerales. Es decir, los límites cuando x tiende a 0 por la derecha y por la izquierda:

 \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) y además \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)

Los resultados se resumen en la siguiente tabla, donde se pueden ver los valores funcionales (valores que toma la función) para cada valor de x a su vez más cercano a 0 tanto por la izquierda como por la derecha:

Valores funcionales para f(x).

Valores funcionales para f(x).

Y como vemos que para cada límite el valor funcional se aproxima a 1 entonces los límites unilaterales son iguales; es decir, los dos límites valen 1, tanto si nos aproximamos a 0 por la derecha como por la izquierda. Entonces, por la definición de un límite: \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sen x}{x} = 1.

Ejemplo #3: f(x) = \sqrt{x}

\lim_{x \rightarrow 0} \sqrt{x} = 0

Existen diferentes tipos de límites: límites convencionales, límites unilaterales, límites infinitos y límites al infinito. Pero ¿es acaso la proposición de arriba correcta ?

¿Es 0 el límite de f(x) cuando x tiende a 0 ? Si observamos la siguiente imagen; que es la gráfica de f(x), veremos que f(x) sólo se aproxima a 0 por la derecha:

Gráfica de f(x) = sqrt(x)

Gráfica de f(x) = sqrt(x)

Mientras que por la izquierda f(x) no está definida. Entonces, ¿se puede decir que el límite existe o que no existe ? Ambas proposiciones son correctas, el límite puede existir o puede no existir, es por eso que normalmente cuando un límite es igual a \infty se dice que el límite no existe. Sin embargo, si estamos tratando con límites infinitos el límite si existe.

De aquí la importancia de diferenciar entre los tipos de límites que existen y sobretodo entender lo que se nos está pidiendo en una clase o exámen. Si en un exámen no hemos visto límites en los que interviene el infinito, entonces de los límites que valgan \infty no existe ninguno; es decir, lo correcto es escribir:

 \lim_{x \rightarrow 0} (\frac{1}{x}) \not\exists

Gráfica de f(x) = 1/x

Gráfica de f(x) = 1/x

Por último, retomando el límite original del problema: \lim_{x \rightarrow 0}\sqrt{x} = 0, graficadoras como WolframAlpha.com evalúan el límite dando como resultado 0 y tomando en cuenta los números complejos, pero hemos visto que este resultado no es siempre correcto.

Ejemplo #4: f(x) = \frac{\sqrt{25 +v} - 5}{\sqrt{1 + v} - 1}

\lim_{v \rightarrow 0} \frac{\sqrt{25 +v} - 5}{\sqrt{1 + v} - 1} = \frac{0}{0}

Para resolver este límite utilizaremos un proceso conocido como racionalización, que consiste en eliminar la parte irracional (por ejemplo \sqrt{2} que no tiene raíz cuadrada exacta) y convertirla en racional (algo expresado como fracción).

El límite se resuelve por doble racionalización; es decir racionalizaremos el numerador y también el denominador. Para racionalizar el denominador multiplicamos arriba y abajo por su conjugado.

\lim_{v \rightarrow 0} \frac{\sqrt{25 +v} - 5}{\sqrt{1 + v} - 1} = \lim_{v \rightarrow 0} \frac{\sqrt{25 +v} - 5}{\sqrt{1 + v} - 1} \cdot \frac{\sqrt{1 + v} + 1}{ \sqrt{1 + v} + 1}

El conjugado del denominador es el mismo denominador con la única diferencia de que el signo intermedio es el negativo ó contrario del original.

Luego de realizar la multiplicación de los denominadores, se obtiene:

= \lim_{v \rightarrow 0}\frac{( \sqrt{1 + v} + 1 )(\sqrt{25 +v} - 5)}{(1 + v) + \sqrt{1 + v} - \sqrt{1 + v} - 1} = \lim_{v \rightarrow 0}\frac{( \sqrt{1 + v} + 1 )(\sqrt{25 +v} - 5)}{v}

Luego, racionalizando el numerador original, se obtiene:

= \lim_{v \rightarrow 0}\frac{( \sqrt{1 + v} + 1 )(\sqrt{25 +v} - 5)}{v} \cdot \frac{\sqrt{25 + v} + 5}{ \sqrt{25 + v} + 5}

= \lim_{v \rightarrow 0}\frac{( \sqrt{1 + v} + 1 )(\sqrt{25 +v} - 5)( \sqrt{25 + v} + 5)}{v( \sqrt{25 + v} + 5)}

= \lim_{v \rightarrow 0}\frac{[ \sqrt{1 + v} + 1 ][25 +v + (5\sqrt{25 + v}) - (5\sqrt{25 +v}) -25]}{v( \sqrt{25 + v} + 5)}

= \lim_{v \rightarrow 0}\frac{[ \sqrt{1 + v} + 1 ][v]}{v( \sqrt{25 + v} + 5)}

Luego, la v de arriba se simplifica con la de abajo porque tenemos solamente factores; entonces nos queda:

= \lim_{v \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + v} + 1 }{\sqrt{25 + v} + 5}

Y evaluamos el límite:

\lim_{v \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1 + v} + 1 }{\sqrt{25 + v} + 5} = \frac{\sqrt{1 + 0} + 1 }{\sqrt{25 + 0} + 5} = \frac{2}{10}

Para comprobar el resultado se grafica la función f(x) y se observa que cuando x=0 hay un punto de la gráfica cuya ordenada es \frac{2}{10}.

Ejemplo #5: f(x) = \frac{2x +1}{x - 3}

Los límites infinitos y los límites al infinito están relacionados con las asíntotas verticales y horizontales respectivamente.

En cálculo existe un teorema para evaluar límites al infinito.

Sea t un número racional y positivo. Si x^{t} está definida, entonces:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{t}} = 0 y \lim_{ x \rightarrow -\infty} \frac{1}{x^{t}} = 0

Esto es así porque, imaginemos que tenemos 1 billete de dinero; si lo dividimos entre un número muy grande de personas (por ejemplo \infty o casi \infty , quiere decir que la cantidad de dinero que recibirá cada quien está muy próxima a \$0.00  pesos. Para resolver  \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x + 1}{x - 3} se dividen ambos numerador y denominador por el término de mayor grado que se encuentre en el denominador:

 \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x + 1}{x - 3} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{2x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{3}{x}}

= \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}}

Ahora se procede a evaluar; considerando el primer teorema para evaluar límites al infinito.

  \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = \frac{2 + \frac{1}{\infty} }{ 1 - \frac{3}{\infty} } = \frac{2 + 0 }{ 1 - 0 } = \frac{2}{1} = 2

Como siempre, para realizar la comprobación, si graficamos f(x) veremos que existe una asíntota horizontal en y = 2.

Ejemplo #6: f(x) = \frac{-3x}{\sqrt{x^2 + 3}}

Cuando existe un radical es recomendable no dividir como en el ejemplo anterior, ya que si dividimos en el denominador entre x^2 es lo mismo que dividir entre \sqrt{x^2}, lo cuál introduciría un radical en el numerador también. Por eso es mejor factorizar el radicando en el denominador:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2 + 3}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-3x}{ \sqrt{x^2( 1+ \frac{3}{x^2}) } }

Y utilizando las propiedades de los radicales:

= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2}\sqrt{ 1+ \frac{3}{x^2} }} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-3x}{x \sqrt{ 1+ \frac{3}{x^2} }} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-3}{\sqrt{ 1+ \frac{3}{x^2} }}

Y evaluando con el primer teorema para límites al infinito:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-3}{\sqrt{ 1+ \frac{3}{x^2} }} = \frac{-3}{\sqrt{ 1+ \frac{3}{(\infty)^2} }} = \frac{-3}{\sqrt{ 1+ 0 }} = -3 .

Ejemplo #7:  \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{|x - 5|}{x - 5}

Los signos siempre son importantes, la diferencia entre un signo + y uno - a veces suele ser enorme.

Por eso con este tipo de problemas hay que tratar de evaluar el signo, o lo que es lo mismo, encontrar una expresión que conserve el signo para poder evaluar el límite correctamente.

En este caso el límite es hacia -\infty :

\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{|x - 5|}{x - 5} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{|x (1 - \frac{5}{x})|}{x (1 - \frac{5}{x})} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{|x||1 - \frac{5}{x}|}{x (1 - \frac{5}{x})}

= \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{|x|}{x} \cdot \frac{ |1 - \frac{5}{x}| }{1 - \frac{5}{x}}

Y evaluando con el primer teorema para límites al infinito:

 = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{|x|}{x} \cdot \frac{ |1 - \frac{5}{x}| }{1 - \frac{5}{x}} = \frac{|-\infty|}{-\infty} \cdot \frac{ |1 - \frac{5}{-\infty}| }{1 - \frac{5}{-\infty}}

= \frac{\infty}{-\infty} \cdot \frac{ |1 - 0| }{1 - 0} = -1 \cdot \frac{ |1| }{1} = -1

Ejemplo #8:  Función seno(x).

\lim_{t \to 0} \frac{\sin 4t}{t}

Este tipo de límite se resuelve por sustitución ó cambio de variable, algo que se utiliza mucho en las matemáticas y ayuda a simplificar muchos cálculos.

Si inventamos una nueva variable, por ejemplo u y la hacemos corresponder “casualmente” a un valor de 4t , tendremos entonces que u = 4t.

Como ya hemos afirmado que esta variable siempre será igual a 4t , podemos sustituir  en la expresión \lim_{t \to 0} \frac{\sin 4t}{t} el elemento 4t por u .

Y la expresión nos quedará:  \lim_{t \to 0} \frac{\sin u}{t} .

Hay que observar que aún tenemos un término t en el denominador, que no pudimos reemplazar directamente por u , ya que u = 4t , que es diferente de t .

Entonces ¿De donde obtenemos t en términos de u ?

Simple, despejando t de u = 4t nos da:

\frac{u}{4} = t

Luego, reemplazamos t en el denominador y obtenemos: \lim_{t \to 0} \frac{\sin u}{\frac{u}{4}}

Luego, realizando la división de fracciones:

= \lim_{t \to 0} \frac{ 4 \sin u}{u} = 4 \lim_{t \to 0} \frac{\sin u}{u}

Y del ejemplo #2 sabemos que  \lim_{t \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1 , entonces:

\lim_{t \to 0} \frac{\sin 4t}{t} = 4 \cdot 1 = 4

Ejemplo #9:  Teorema de estricción ó teorema de interposición.

Si f, g y h son funciones para las cuales g(x) \leq f(x) \leq h(x) para todo x en un intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente el mismo a, y si \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L, entonces \lim{x \to a} f(x) = L

O sea que si una función se interpone en algún momento ó intervalo entre otras dos funciones y entre dos límites iguales, entonces el límite para un valor de x que está enmedio forzosamente es igual a los límites que encierran la funcion en tal intervalo.

Planteamiento del Problema: Si |f(x)| \leq B para todo x, demuestre que \lim_{x \rightarrow 0} x^2 f(x) = 0.

Por la definición de valor absoluto, B está a |f(x)| unidades del origen. O lo que es lo mismo, |f(x)| está dentro del intervalo de [-B, B].

Como ya se dijo que -B \leq f(x) ó f(x) \leq B entonces:

-B \leq f(x) \leq B

A continuación se busca una expresión igual a la del límite que estamos evaluando. Esto se logra multiplicando en toda la inecuación por x^2.

-x^2 B \leq x^2 f(x) \leq x^2 B

Ahora aplicamos el teorema de estricción evaluando los límites de los extremos y si éstos límites son iguales entonces necesariamente el límite de en medio también lo es.

- \lim_{x \to 0} x^2 B \leq \lim_{x \to 0} x^2 f(x) \leq \lim_{x \to 0} x^2 B

-(0)^2 B \leq \lim_{x \to 0} x^2 f(x) \leq (0)^2 B

0 \leq \lim_{x \to 0} x^2 f(x) \leq 0

Ya evaluados, los límites de los extremos son ambos 0 y son iguales, entonces por el teorema de estricción se concluye que el límite del centro también es igual a 0 y el problema queda resuelto.

Hay que tener en cuenta la forma que tiene la inecuación para poder aplicar el teorema. Si la inecuación tuviera la forma:

-x^2 B \leq x^2 f(x) \geq x^2 B

No sería posible aplicar el teorema de estricción ya que f(x) no está interpuesta, no está en medio de las otras dos funciones.

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Dennis Zill, Cálculo.

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