Recta tangente a una curva utilizando la derivada.

Es difícil imaginar que la pendiente de la recta tangente a una curva, en cualquiera de sus puntos, es la derivada. O mejor dicho, que la pendiente de una recta tangente a una curva, en cualquiera de sus puntos la da la derivada, evaluada en tal punto.

En cálculo a menudo se plantean éste tipo de problemas, fomentando únicamente el uso de la interpretación geométrica de una derivada.

Sin embargo, sabemos que la derivada de una función es más que una simple interpretación geométrica. La derivada es la razón de cambio instantánea en cualquier punto que forme parte de nuestra gráfica. Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = 2x^3 + 4x^2 - 5x - 3, que pase por el punto P(0, 3).

El punto P(0, 3) no es parte de la gráfica, entonces lo que se nos pide es encontrar una ecuación de una recta que pase por el punto P(0, 3) y también por un punto A de nuestra gráfica y además que la misma recta sea tangente a la gráfica en tal punto A.

y = f(x)

y = f(x)

En la imagen anterior se observan 4 rectas, l1, l2, l3 y l4. Es imposible saberlo a simple vista, pero las cuatro rectas son tangentes a la gráfica y = f(x).

A medida que vamos recorriendo la gráfica de y = f(x) de izquierda a derecha, cada línea recta desde l1 hasta l4 corta al eje Y en algún punto.

De L3 a l4 el punto de intercepción con el eje Y pasa de y \approx 7 hasta y\approx 0. Por lo tanto, la recta que buscamos, que sea tangente a y= f(x) y que pase por P(0, 3) debe estar entre L3 y l4 ya que el punto P tiene como ordenada y = 3.

Y el punto de tangencia con y = f(x), a simple vista, debe estar entre x= -1.9 y x = -1.4 como se observa en la siguiente imagen.

Rectas para abcisas de L3 y L4

Las rectas azules pasan por las abcisas de los puntos de tangencia para L3 y L4, que son x=-1.9 y también x=-1.4

Ahora, por geometría elemental, y utilizando la forma punto-pendiente de una recta, sabemos que la ecuación de la recta que buscamos es de la forma:

m = \frac{y - 3}{x - 0}

Esto es así poque hemos formado la ecuación de la recta utilizando cualquier punto que pase por ella, por ejemplo el punto P(0, 3).

Sabemos también que cualquier punto de coordenadas x,y en la ecuación de arriba, que pase por la recta, satisfará la ecuación.

Entonces haremos que x,y en la ecuación de ariba, sean las coordenadas del punto A de tangencia de la gráfica y=f(x). Esto es válido porque, recordemos que lo que se nos pide es encontar la ecuación de una recta que pase por el punto P(0, 3) y que sea tangente a y=f(x).

Pero,

“La pendiente en el punto de tangencia está dada por la derivada de la función, evaluada en tal punto de tangencia”

O sea que no basta con obtener la pura derivada y tomarla como una pendiente. Hay que evaluar tal derivada en el punto en el que queramos saber la pendiente.

Esto es simple de recordar porque la derivada no siempre es un número, a veces nos queda una ecuación como derivada.

Entonces:                       m = y' = \frac{d}{dx}( 2x^3 + 4x^2 -5x -3)

                                            m = y' = 6x^2 + 8x - 5

Y también:                     m = \frac{y - 3}{x - 0}

Entonces:                       6x^2 + 8x - 5 = \frac{y - 3}{x - 0}

                                            x(6x^2 + 8x - 5) = y - 3

                                            6x^3 + 8x^2 - 5x + 3 = y

Y como sabemos que y = f(x). O sea, que la ordenada del punto de tangencia, como es natural, está dada por f(x) al evaluar con la abcisa del punto de tangencia. Entonces la ecuación de arriba nos queda:

 6x^3 + 8x^2 - 5x + 3 = 2x^3 + 4x^2 - 5x - 3

0 = 2x^3 - 6x^3 + 4x^2 - 8x^2 - 5x + 5x - 3 - 3

0 = - 4x^3 - 4x^2 - 6

Que es una ecuación cúbica, y por ende, con tres soluciones. De las cuáles tomaremos sólo una, y tal valor de x será la abcisa del punto de tangencia.

Utilizando cualquier calculadora ó software, como por ejemplo Microsoft Mathematics ó WolframAlpha podemos encontrar las soluciones de  0 = - 4x^3 - 4x^2 - 6.

La ecuación anterior tiene una única raíz real, la cual es x \approx -1.59191. Entonces el punto de tangencia A tiene las coordenadas (-1.51191, y).

Pero como nos interesa más la pendiente, para poder formar la ecuación de la recta con los datos que ya tenemos, entonces evaluaremos la coordenada x del punto de tangencia en la derivada de f(x) para encontrar la pendiente de una recta tangente que pasa por (-1.51191, y) :

                                                 y' = 6x^2 + 8x - 5

 Entonces:                           6(-1.51191)^2 + 8(-1.51191) - 5 = m

                                                 -2.5302153114 = m

Teniendo ya la pendiente, entonces de la ecuación original que teníamos m = \frac{ y - 3}{x - 0}, formamos la siguiente ecuación:

-2.5302153114x = y - 3

 2.5302153114x + y - 3 = 0

Que es la ecuación de la recta aproximadamente tangente a la curva f(x) y que además pasa por el punto P(0, 3).

Recta aproximadamente tangente a f(x)

Recta aproximadamente tangente a f(x)

La ecuación de tal recta es aproximadamente tangente, ya que por simplicidad, se utilizó la aproximación x \approx -1.51191 en lugar del verdadero valor de x.

Sin embargo, para los que utilizaron Wolfram | Alpha podrán observar el valor completo haciendo clic en el botón Exact form en la página de Wolfram|Alpha.

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Archivado bajo Cálculo, Derivada

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