Fórmulas e identidades trigonométricas.

Como es de esperarse, la mayoría de estas identidades y fórmulas se demuestran utilizando figuras geométricas, principalmente triángulos.

Identidades Trigonométricas Elementales:

Las identidades 4, 5 y 6 se obtienen a partir de la propiedad ###. Es decir, cualquier número multiplicado por su recíproco, siempre es igual a 1 . Por ejemplo \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{35}{35} = 1 .

\frac{1}{\sin u} \equiv \csc u

\frac{1}{\cos u} \equiv \sec u

\frac{1}{\tan u} \equiv \cot u

\sin u \csc u \equiv 1

\cos u \sec u \equiv 1

\tan u \cot u \equiv 1

\frac{\sin u}{\cos u} \equiv \tan u

\frac{\cos u}{\sin u} \equiv \cot u

Identidades de Cuadrados

La primera identidad se obtiene a partir de la circunferencia unitaria, es decir, una circunferencia de radio 1.

La segunda identidad se obtiene a partir de la primera, dividiendo entre \sin^2 u y la tercera identidad también se obtiene a partir de la primera, pero dividiendo entre \cos^2 u:

\sin^2 u + \cos^2 u \equiv 1

1 + \cot^2 \equiv \csc^2 u

\tan^2 u + 1 \equiv \sec^2 u

Suma de Ángulos

Las identidades de suma y resta de ángulos se obtienen por propiedades de los triángulos y simetría.

\sin (A +B) = \sin A \cos B + \sin B \cos A

\sin (A - B) = \sin A \cos B - \sin B \cos A

\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B

\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B

\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}

\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

Argumento Doble

Las identidades del argumento doble se obtienen a partir de las identidades de suma de ángulos. Por ejemplo, \cos (2u) = \cos (u + u) = \cos u \cos u - \sin u \sin u = \cos^2 u - \sin^2 u .

\cos (2u) = \cos^2 u - \sin^2 u

\sin (2u) = 2 \sin u \cos u

Argumento Mitad

\cos \frac{u}{2}= \sqrt{\frac{1 + \cos u}{2}}

La primera fórmula se obtiene a partir de las identidades \sin^2 x + \cos^2 x \equiv 1 y \cos (2x) = cos^2 x - \sin^2 x para luego hacer un cambio de variable. Esta identidad es útil para resolver algunas integrales.

Por la propiedad ###, a+c = b + c. Entonces, si sumamos un número igual a ambos lados de una expresión, ésta última se mantiene equivalente. Por lo que, si sumamos \cos 2x a ambos lados de  \sin^2 x + \cos^2 x \equiv 1 obtenemos una nueva expresión:

(\cos 2x) + \sin^2 x + cos^2 x = 1 + \cos 2x

(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin^2 x + cos^2 x = 1 + \cos 2x

\cos^2 x + 0 + cos^2 x = 1 + \cos 2x

2 (\cos^2 x) = 1 + \cos 2x

\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Haciendo la sustitución 2x = u tenemos también que x= \frac{u}{2}.

\cos^2 x = \frac{1 + \cos u}{2}

\cos^2 \frac{u}{2} = \frac{1 + \cos u}{2}

  \cos \frac{u}{2}= \sqrt{\frac{1 + \cos u}{2}}

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